PİSAGOR KİMDİR?
Pisagor MÖ 500’lü yıllarda yaşamış Yunan filozof ve matematikçisidir. Matematik ve Müziği buluşturan Pisagor, kendi adıyla anılan Pisagor Teoremi ile meşhurdur. ,
BAĞINTISI NEDİR?
Mısır’da Nil Nehri’de bahar aylarında meydana gelen taşkınlar nedeniyle arazi sınırları sürekli değişiyor bu nedenle de arazilerin sınırlarının sıklıkla yeniden belirlenmesi gerekiyordu. Bu amaçla dik kenar uzunlukları bilinen dik üçgenlerin hipotenüs uzunluğunu veren bir bağıntı kullanılıyordu. Yunanlı matematikçi Pisagor’un (Pythagoras) adıyla anılan Pisagor bağıntısında bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesine eşittir. Bu bağıntının ilk kez ne zaman ve kimin tarafından kullanıldığı tam olarak bilinmemekle beraber, bağıntının ilk kez Pisagor tarafından ispat edildiği düşünülmektedir.
PİSAGOR BAĞINTISI NE İŞE YARAR?
Pisagor bağıntısını kullanarak dik üçgende dik kenarların uzunluğundan faydalanarak hipotenüsün uzunluğunu bulabiliriz. Daha geniş bir ifadeyle bir dik üçgende herhangi iki kenarın uzunluğunu biliyorsak üçüncü kenarın uzunluğunu bulabiliriz.
DİK ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI
Bildiğiniz gibi bir açısının ölçüsü 90 derece olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 derecelik açının karşısındaki kenarın özel bir adı vardır. 90 derecelik açının karşısındaki kenara hipotenüs adı verilir. Bu kenarın en uzun kenar olduğunu zaten Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları konusundan biliyorsunuz. Hipotenüs dışında geriye kalan birbirine dik olan kenarlara da dik kenarlar diyoruz.
Pisagor Teoremi der ki:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
ÖRNEK: Dik kenarlarının uzunlukları 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgenin hipotenüsünün uzunluğu kaç santimetredir?
ÇÖZÜM: Hipotenüsün uzunluğuna x diyerek pisagor bağıntısını yazarsak:
olarak buluruz. Burada bize x’in kaç olduğu lazım. x’in karesi 25’miş. “Hangi sayının karesi 25’tir?” sorusunu sorarak cevabı 5 buluruz. Tabi işler her zaman bu kadar kolay olmayabilir. Hipotenüsün karesi her zaman tam kare bir sayı olmayabilir. O yüzden şöyle bir yol izleyelim. “Bu sayı hangi sayının karesidir?” diye kendimize sormaktansa bu soruyla aynı anlamı taşıyan karekök alma işlemini kullanalım. Burada her iki tarafın karekökünü alabiliriz.
ÖRNEK: Hipotenüsü nün uzunluğu 13 m olan ve dik kenarlarından birinin uzunluğu 5 m olan bir dik üçgenin diğer dik kenarının uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM: Bu sefer verilmeyen dik kenarın uzunluğuna x diyeceğiz ve pisagor teoremini buna göre yazacağız:
Bilinmeyeni yalnız bırakma adına +25’i eşitliğin karşı tarafına –25 olarak gönderdik. Bilinmeyeni bulmak için her iki tarafın karekökünü aldık ve cevabı 12 metre bulduk.
# Hipotenüsün uzunluğunun ve bir dik kenarın uzunluğunun verildiği sorularda diğer dik kenarın uzunluğunun karesini bulmak için hipotenüsün uzunluğunun karesinden verilen dik kenarın uzunluğunun karesini çıkarırız.
ÖRNEKLER:
ÇÖZÜMLER:
KENAR UZUNLUKLARI TAM SAYI OLAN ÖZEL DİK ÜÇGENLER
Örneklerde de gördüğümüz gibi bazı üçgenler var ki kenar uzunluklarının hepsi tam sayı. Bu üçgenler sorularda sıkça sorulmaktadır. Elbette bunları ezberlemek zorunda değiliz. Pisagor bağıntısı kullanarak verilmeyen kenar uzunluğunu bulabiliriz. Ancak bunları bilmek soru çözümünde size zaman kazandırır ki zaten sorularda karşınıza çıka çıka bunlardan bazılarını istemeden de olsa ezberleyeceksiniz 🙂
Burada yazan üçgenlerde en uzun kenarın hipotenüs olduğunu unutmayın. Sonra soruda 3’ü ve 4’ü görüp dik kenarlardan birine 5 yazmayın. (Malumunuzdur ki dik kenarlar hipotenüsten kısa olmak zorundadır.)
3 – 4 – 5 üçgeni
5 – 12 – 13 üçgeni
6 – 8 – 10 üçgeni (3-4-5’in 2 katı)
7 – 24 – 25 üçgeni
8 – 15 – 17 üçgeni
9 – 12 – 15 üçgeni (3-4-5’in 3 katı)
…. şeklinde bu liste sonsuza kadar uzatılabilir. Burada yazanlar sıkça karşınıza çıkabilecek olanlardır. Bunların katları da alınabilir.
8. Sınıf Matematik Ansiklopedisi 